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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 186 — #192
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186 6. Procesos de renovaci´ on y confiabilidad

Como W N t 1 t,se tiene que E W N t 1 t 0. Por lo tanto
Λ t 1
l´ım inf .
t t µ
Ahora estimaremos el l´ımite superior del mismo cociente. Como W N t 1 t
T N t 1 ,se tiene que E W N t 1 t E T N t 1 ypor lo tanto
W N t 1 W N t
Λ t 1 1
E T N t 1 .
t µ µt
Consideremos primero el caso particular cuando las variables T son uni-
formemente acotadas, es decir, supongamos que existe un entero k 0tal
que para cada n 1, P T n k 1. Entonces, condicionando sobre el
valor de N t ,puede comprobarse que E T N t 1 k ypor lo tanto
Λ t 1
l´ım sup .
t t µ
Esto concluye la demostraci´on en el caso particular mencionado. Ahora
consideremos que las variables T no son necesariamente acotadas c.s. En
este caso se definen los tiempos recortados

T n k T n si T n k,
k si T n k.

Observe que T n k T n cuando k .Apartir de estos tiempos se considera
k
k
un nuevo proceso de renovaci´on N con funci´on de renovaci´on Λ .Se cumple
t
t
k
que Λ t Λ ypor lo tanto
t
Λ t 1
l´ım sup k .
t t E T
Ahora se hace k tender a infinito. Por el teorema de convergencia mon´otona,
E T k E T ,y ello prueba la desigualdad faltante. !
El cociente Λ t t es el n´umero de renovaciones promedio por unidad de
tiempo. El resultado reci´en demostrado establece que a largo plazo habr´a en
promedio 1 E T renovaciones por unidad de tiempo. Por ejemplo, para el
proceso Poisson, E T 1 λ y Λ t λt.Por lo tanto Λ t t λ.Los
siguientes dos resultados importantes se enuncian sin demostraci´on y los
t´erminos t´ecnicos a los que se hace referencia aparecen explicados en el
ap´endice.

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