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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 161 — #167
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5.4. Procesos de nacimiento y muerte 161

Ejemplo 5.10 Un proceso de Poisson es una cadena de nacimiento y muer-
te en donde las tasas instant´aneas de muerte µ 0 ,µ 1 ,... son cero, y las tasas
instant´aneas de nacimiento λ 0 , λ 1 ,... son todas ellas iguales a una cons-
tante λ 0.La matriz de par´ametros infinitesimales es entonces de la
forma (5.5).

Ejemplo 5.11 Las ecuaciones prospectivas de Kolmogorov del proceso de
Poisson de par´ametro λ para las probabilidades p n t : p 0n t son

p t λ p 0 t .
0
p t λ p n 1 t λ p n t , para n 1,
n

Usaremos estas ecuaciones para comprobar nuevamente que X t tiene dis-
tribuci´on Poisson λt .Usando la condici´on inicial p 0 0 1,la primera
λt
ecuaci´on tiene soluci´on p 0 t e λt .Definiendo q n t e p n t ,la segun-
da ecuaci´on se transforma en q t λq n 1 t ,con condiciones q n 0 δ 0n
n
y q 0 t 1.Esta nueva ecuaci´on seresuelveiterativamente, primero para
q 1 t ,despu´es para q 2 t ,y as´ısucesivamente. En general, q n t λt n n!
para n 0.Deaqu´ı seobtiene p n t e λt λt n n!

Ejemplo 5.12 Esta es otra derivaci´on mas de la distribuci´on Poisson en
el proceso de Poisson, ahora usando las ecuaciones prospectivas de Kol-
mogorov y la funci´on generadora de probabilidad. La variable aleatoria X t
puede tomar los valores 0, 1,... de modo que su funci´on generadora de pro-
babilidad es

n
u E u X t p n t u ,
G X t
n 0
para valores reales de u tales que u 1,y en donde p n t P X t
n . Consideraremos a esta funci´on tambi´en como funci´on del tiempo t y
por comodidad en los siguientes c´alculos la llamaremos G t, u .Derivando
respecto de t,para el mismo radio de convergencia u 1,y usando las
ecuaciones prospectivas de Kolmogorov para el proceso de Poisson se tiene

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