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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 165 — #171
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5.4. Procesos de nacimiento y muerte 165

transici´on p ij t ,sin embargo cuando el estado iniciales cero se conoce la
siguiente f´ormula recursiva.

Proposici´on 5.6 Para cualquier t 0 ycualquier entero n 1,las pro-
babilidades de transici´on en un proceso de nacimiento puro satisfacen la
relaci´on:
t
p 0n t λ n 1 e λ nt e λ ns p 0,n 1 s ds. (5.12)
0
Demostraci´on. El sistema de ecuaciones diferenciales prospectivas de
Kolmogorov para este proceso es

p ij t λ j 1 p i,j 1 t λ j p ij t .

En particular, partiendo de cero,

p 00 t λ 0 p 00 t ,
p 0n t λ n 1 p 0,n 1 t λ n p 0n t , n 1,

con las condiciones de frontera p 00 0 1y p 0n 0 0, para n 1. La
primera ecuaci´on tiene soluci´on p 00 t e λ 0 t ,mientras que para el caso
n 1, multiplicando por el factor integrante e λ nt yresolviendo se obtiene
la f´ormula enunciada. !

Proceso de muerte puro
De manera an´aloga puede definirse un proceso de muerte puro como un
proceso de nacimiento y muerte en donde los par´ametros de nacimiento
λ 0 , λ 1 ,... son todos cero. El proceso puede iniciar con una poblaci´on de
tama˜no k 1, y presentar fallecimientos sucesivos hasta una posible extin-
ci´on completa de la poblaci´on.

El proceso de Yule
Este es un tipo particular de proceso de nacimiento puro, y para el cual
es posible encontrar expl´ıcitamente las probabilidades detransici´on. Este
proceso puede definirse a trav´es de los siguientes postulados:

a) El estado inicial es X 0 k 1.

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