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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 158 — #164
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158 5. Cadenas de Markov a tiempo continuo

Usando las condiciones iniciales se encuentra que c 1 µ λ µ y c 2
λ λ µ .De esta forma se llega a la soluci´on

µ λ
p 00 t e λ µ t .
λ µ λ µ

Tomando complemento se encuentra una expresi´on para p 01 t .Por simetr´ıa
pueden obtenerse tambi´en las probabilidades p 10 t y p 11 t como aparecen
enunciadas en el Ejemplo 5.3.

Ecuaciones prospectivas
Al sistema de ecuaciones diferenciales dado por la igualdad P t P t G se
le llama sistema de ecuaciones prospectivas de Kolmogorov. La diferencia
entre este sistema y el sistema retrospectivo mencionado antes es que el
orden de los factores en el lado derecho es distinto. M´as expl´ıcitamente, el
sistema prospectivo es el siguiente

p ij t p ik t g kj . (5.10)
k
En algunos casos los dos sistemas de ecuaciones son equivalentes y su solu-
ci´on produce las mismas probabilidades de transici´on p ij t .En general, el
sistema retrospectivo es el que siempre se satisface como lo hemos demostra-
do, y no as´ı para el sistema prospectivo. En la siguiente secci´on estudiaremos
una cadena de Markov a tiempo continuo que es un tanto general yque lleva
el nombre de proceso de nacimiento y muerte. Para esta cadena en particular
ypara todas sus simplificaciones tambi´en se cumple el sistema prospectivo
de ecuaciones diferenciales de Kolmogorov con algunas hip´otesis adicionales.
Apartir de esta cadena explicaremos elorigen de los t´erminos prospectivo
yretrospectivo. Antes de ello mostramos el sistema prospectivo para dos
ejemplos de cadenas de Markov.

Ejemplo 5.8 (Proceso de Poisson) El sistema de ecuaciones prospec-
tivas de Kolmogorov para el proceso de Poisson de par´ametro λ est´a dado
por

p t λp ii t
ii
p ij t λp ij t λp i,j 1 t para i j.

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