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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 82 — #88
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82 3. Cadenas de Markov

Cuando el espacio de estados es finito se cumple la igualdad en elprimer
resultado obteni´endose una distribuci´on de probabilidadverdadera.

Demostraci´on.
Caso 1. Espacio de estados finito. Suponga que el espacio de estados es el
conjunto finito 0, 1,... ,N .Entonces la primera afirmaci´on se cumple con
igualdad pues

N N N
π j l´ım p ij n l´ım p ij n 1.
n n
j 0 j 0 j 0

Para la segunda afirmaci´on se tiene que para cualquier n 1,

N N
π i p ij l´ım p ki m p ij
m
i 0 i 0
N
l´ım p ki m p ij
m
i 0
l´ım p kj m 1
m
π j .

Caso 2. Espacio de estados infinito. Suponga ahora que el espacio de estados
es infinito. En este caso no es posible garantizar la validez del intercambio
de l´ımite y suma efectuado en el caso anterior. Para la primera afirmaci´on
se tiene que para cualquier n´umero natural N 1,

N N N
π j l´ım p ij n l´ım p ij n l´ım 1 1.
n n n
j 0 j 0 j 0

Haciendo N se obtiene el resultado buscado. Para la segunda afirma-
ci´on, nuevamente para cualquier n´umero natural N 1, y para cualquier

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