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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 78 — #84
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78 3. Cadenas de Markov

Como otra aplicaci´on de la Proposici´on 3.18 encontramos nuevamente que,
sin hacer mayores c´alculos, los tiempos medios de recurrencia son

1 1 a b a b
µ 0 ,µ 1 , , .
π 0 π 1 b a
Ejemplo 3.22 La cadena de Ehrenfest es finita e irreducible, en consecuen-
cia es recurrente positiva. Por lo tanto tiene una ´unica distribuci´on esta-
cionaria. Resolviendo el sistema de ecuaciones π πP junto con π j 1
j
se encuentra que el vector estacionario π tiene distribuci´on bin N, p ,con
p 1 2,es decir,

N 1
π j , para j 0, 1,... ,N. (3.9)
j 2 N
En efecto, el sistema de ecuaciones π πP se escribe

1
π 0 π 1
N
2
π 1 π 0 π 2
N
N 1 3
π 2 π 1 π 3
N N
. . .
2
π N 1 π N 1 π N
N
1
π N π N 1 .
N

Se busca resolver este sistema de ecuaciones junto con la condici´on π j
j
1.Reescribiendo cada una deestas ecuaciones en t´erminos de π 0 se encuen-
tra que
N
π j π 0 , para j 0, 1,... ,N.
j
Sumando todas estas ecuaciones se llega a la identidad

N N
N
1 π 0 π 0 2 .
k
k 0

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