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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 79 — #85
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3.13. Distribuciones estacionarias 79

De donde se obtiene π 0 1 2 N yde esta forma se demuestra (3.9). Envista
de la Proposici´on 3.18, los tiempos medios de recurrencia para esta cadena
son
1 2 N
µ j N , para j 0, 1,... ,N.
π j
j
Para fines ilustrativos concretos podemos tomar el caso N 2,es decir,se
tienen ´unicamente dos bolas distribuidas en las dos urnas dela cadena de
Ehrenfest. Entonces la distribuci´on binomial bin N, p ,como el vector de
probabilidad invariante de esta cadena, se escribe

π 0 , π 1 , π 2 1 4, 1 2, 1 4 .

π
1 2

1 4

0 1 2 Urna A Urna B

Figura 3.17

En vista del teorema erg´odico, esto significa que, a largo plazo, la cadena de
Ehrenfest se encontrar´a en el estado 1 el 50 % del tiempo, y en los estados 0 y
2 el 25 % del tiempo en cada uno de ellos. Los tiempos medios de recurrencia
son
µ 0 ,µ 1 ,µ 2 4, 2, 4 ,
es decir, si por ejemplo la cadena se encuentra en alg´un momento en el
estado 0,entonces tardar´a en promedio 4 tiempos para regresar nuevamente
aese estado. En este caso particular, estos tiempos medios derecurrencia
pueden corroborarse usando la definici´on b´asica de esperanza.

Ejemplo 3.23 La cadena de racha de ´exitos, aunque no es finita, es irre-
ducible y recurrente positiva. Por lo tanto tiene una ´unica distribuci´on esta-
cionaria dada por la distribuci´on geo 1 p ,es decir,el sistema deecua-

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