Page 35 - riesgo2012

1.5. Modelo colectivo Poisson 25

Modelo Poisson compuesto

Cuando el n´umero de reclamaciones N tiene una distribuci´on Poisson se
dice que el riesgo S tiene una distribuci´on Poisson compuesta, y se escribe
S Poisson comp λ,G , en donde λ es el par´ametro de la distribuci´on
Poisson y G es la funci´on de distribuci´on de cada sumando de S. Para este
modelo se tienen los siguientes resultados.

Proposici´on 1.8 Si N tiene distribuci´on Poisson λ ,entonces

a) E S λµ.

2 2
b) E S 2 λµ 2 λ µ .
c) Var S λµ 2 .

d) M S t exp λ M Y t 1 .

Nuevamente estas expresiones son consecuencia de las f´ormulas generales
demostradas antes, y del hecho de que si N tiene distribuci´on Poisson λ ,
entonces E N λ, Var N λ,y M N t exp λ e t 1 . V´ease la secci´on
de ejercicios para los terceros momentos de este modelo. Observe que el
par´ametro λ y la distribuci´on de la variable Y determinan por completo al
modelo Poisson compuesto. Estudiaremos con m´as detalle este modelo en
la siguiente secci´on.

1.5. Modelo colectivo Poisson

En esta secci´on retomamos el caso cuando el n´umero de reclamaciones en
el modelo colectivo sigue una distribuci´on Poisson. Primeramente explicare-
mos la forma en la que se puede obtener un modelo colectivo Poisson a
partir del modelo individual. Despu´es mostraremos c´omo este modelo Poi-
sson compuesto aproxima al modelo individual. Finalmente estudiaremos
algunas propiedades interesantes y ´utiles del modelo colectivo Poisson.