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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 277 — #283
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3.11 Distribuci´ on beta 277

Proposici´on 3.5 Sean X y Y dos variables aleatorias independientes
con distribuci´on gammapa, λq y gammapb, λq, respectivamente. Entonces

X
„ betapa, bq.
X ` Y

Finalmente observamos que la distribuci´on betapa, bq se reduce a la distri-
buci´on unifp0, 1q cuando a “ b “ 1.

Ejercicios

398. Propiedades de la funci´on beta. Demuestre las siguientes propie-
dades de la funci´on beta. La identidad peq ser´a particularmente ´util.

a) Bpa, bq“ Bpb, aq.
b) Bpa, 1q“ 1{a.
c) Bp1,bq“ 1{b.
a
d) Bpa ` 1,bq“ Bpa, b ` 1q.
b
a
e) Bpa ` 1,bq“ Bpa, bq.
a ` b
b
f ) Bpa, b ` 1q“ Bpa, bq.
a ` b
g) Bp1{2, 1{2q“ π.

399. Demuestre que si X „ betapa, bq entonces

1 ´ X „ betapb, aq.

400. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on betapa, bq.Demuestre
que
a
a) EpXq“ .
a ` b
apa ` 1q
2
b) EpX q“ .
pa ` bqpa ` b ` 1q

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