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36                  1. El modelo individual y el modelo colectivo


                               12. Considere el modelo individual de riesgo para una carterade n  56
                                  asegurados divididos en cinco subgrupos de la siguiente forma: 11
                                  asegurados con probabilidad de reclamaci´on q  0.01, 7 asegurados
                                  con q    0.015, 20 asegurados con q  0.02, 10 asegurados con q
                                  0.025 y 8 asegurados con q   0.03. Todos ellos con suma asegurada
                                  $100. Calcule el valor esperado del agregado de reclamaciones del
                                  riesgo correspondiente a esta cartera de asegurados.
                               13. Para el modelo individual, suponga que D j tiene distribuci´on Ber q ,
                                  es decir, q j  q  0 es constante, y que cada reclamaci´on C j tiene
                                  distribuci´on exp λ . Encuentre la distribuci´on de probabilidad del
                                  riesgo S.

                                                                                n
                               14. Considere el modelo individual de riesgo S      D j C j , en donde
                                                                                j 1
                                  C 1 , C 2 , ..., C n son constantes posiblemente distintas todas ellas, y
                                  cada D j tiene distribuci´on Ber q j para j  1, 2,... ,n.

                                    a) Demuestre que la funci´on de probabilidad de la variable D j C j
                                       es
                                                                 1   q j  si x  0,
                                                         x               si x   C j ,
                                                   f D j C j     q j
                                                                 0       en otro caso.


                                    b) Defina S j    S j 1  D j C j para j  2, 3,... ,n y S 1  D 1 C 1 .
                                       Demuestre que la funci´on de probabilidad de la variable S j
                                       puede calcularse recursivamente de la siguiente forma: para
                                       j   2, 3,... ,n,

                                                   x     1           x            x   C j .
                                                f S j        q j f S j 1  q j f S j 1
                               15. Considere el modelo individual de riesgo en donde todas las tasas
                                  de muerte q j son una misma probabilidad q y los montos de las
                                  reclamaciones son iguales a 1. Verfique que las f´ormula generales de
                                  la Proposici´on 1.2 se reducen a las de la distribuci´on binomial n, q ,
                                  es decir,

                                    a) E S     nq.
                                    b) Var S     nq 1   q .
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