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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 235 — #241
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7.12. Ejercicios 235

a) X m´ax X n , 0 .
n
b) X n m´ın X n , 0 .
c) X n .Suponga,en este caso, que X n : n 0 es una martingala.
194. Martingala del juego de apuestas. Sea ξ 1 , ξ 2 ,... una sucesi´on de va-
riables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas. Defina
X n ξ 1 ξ n .Demuestre que:

a) Si E ξ ,entonces el proceso X n nE ξ : n 1 es una
martingala.
b) Si E ξ 2 ,entonces elproceso X 2 nE ξ 2 : n 1 es una
n
martingala.

195. Sea X t : t 0 una martingala cuadrado integrable. Demuestre que
2
X : t 0 es una submartingala respecto de la misma filtraci´on.
t
V´ease el siguiente ejercicio para una generalizaci´on de este resultado.
196. Sea X t : t 0 una martingala tal que E X t p para cada t 0,
con p 1. Demuestre que X t p : t 0 es tambi´en una submartin-
gala. Sugerencia: use la desigualdad de Jensen. En el siguiente ejercicio
se generaliza este resultado.

197. Sea X t : t 0 un proceso integrable, y sea g una funci´on con-
vexa tal que g X t es integrable para cada t 0. Demuestre que
bajo cualquiera de las siguientes condiciones se cumple que el proceso
g X t : t 0 es una submartingala.

a) Cuando X t : t 0 es una martingala.
b) Cuando X t : t 0 es una submartingala y g es una funci´on no
decreciente.

198. Sea ξ 1 , ξ 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias independientes tales

que E ξ k µ k ,Var ξ k σ 2 ,para k 1, y con filtraci´on na-
k
tural F n n 1 .Demuestre que elsiguiente proceso es una martingala
respecto de esta filtraci´on.
n n
2
X n 2 ξ k µ k 2 σ .
k
k 1 k 1

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