Page 210 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 200 — #204
i i

200 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

203. P.X x C y j X x/ D P.X x C y/=P.X x/ D e .xCy/ =e x D e y
D P.X y/.
204. F.x/ F.y/ D .1 e x /.1 e y / D 1 e x e y C e .xCy/
D .1 e x / C .1 e y / .1 e .xCy/ / D F.x/ C F.y/ F.x C y/.
205. Suponga que el tiempo se mide en minutos. E.X/ D 10 D 1=. Por lo tanto D 1=10.
Entonces P.X > 60/ D 1 P.X 60/ D 1 .1 e 60=10 / D e 6 D 0:002478 .
Por lo tanto de 1000 usuarios, aproximadamente 2.47 tienen conexi´ on mayor a una
hora. a) P.X < 10/ D F.10/ D 1 e 10=10 D 1 e 1 D 0:6321 . b) P.10 <
X < 60/ D F.60/ F.10/ D .1 e 6 / .1 e 1 / D 0:3654 .
ˇ nC1
R nC1 x n
206. P.N D n/ D e dx D e x ˇ D .1 e /.e / . Esta es la
n ˇ
n
distribuci´ on geo.p/ con p D 1 e .
207. Como F.x/ D 1 e x , tenemos la ecuaci´ on 0:75 D 1 e 2 , de donde se obtiene
D ln 2 :

Distribuci´ on gama
208. a) La funci´ on es no negativa, adem´ as haciendo el cambio de variable t D x se
obtiene
1 .x/ x 1 1 n 1 t .n/
R n 1 R
0 .n/ e dx D .n/ 0 t e dt D .n/ D 1.
R 1 .x/ n 1 x .nC1/ R 1 .x/ n x
b) E.X/ D x e dx D e dx. La inte-
0 .n/ .n/ 0 .nC1/
gral vale uno, y usando la propiedad .n C 1/ D n .n/ se obtiene E.X/ D n=.
2
c) E.X / D R 1 x 2 .x/ n 1 e x dx D
0 .n/
.nC2/ R 1 .x/ nC1 x 2
2 .n/ 0 .nC2/ e dx D .n C 1/n= . Por lo tanto,
2
2
2
2
2
Var.X/ D E.X / E .X/ D .n C 1/n= 2 n = D n= .
d) An´ alogo al inciso anterior.
R 1 n t n t
209. a) .nC1/ D t e dt. Use integraci´ on por partes con u D t y dv D e dt.
0
b) Por el inciso anterior, .2/ D 1 .1/, por lo tanto es suficiente demostrar que
R 1 t
.1/ D 1, pero .1/ D e dt D 1.
0
c) Esto es consecuencia de los dos incisos anteriores.
2
d) Haciendo el cambio de variable x =2Dt,
1 p 1 2 p p 1 1 1 2
Z Z Z
.1=2/ D t 1=2 e t dt D 2 e x =2 dx D 2 2 p e x =2 dx
0 0 2 1 2
p
D :
El ´ ultimo integrando es la densidad normal est´ andar.
Distribuci´ on beta
R 1 1 a 1 b 1 1 R 1 a 1
210. a) Claramente f .x/ 0, y x .1 x/ dx D x
0 B.a;b/ B.a;b/ 0
.1 x/ b 1 dx D B.a;b/ D 1.
B.a;b/
i i

i i